Onde surgiu a matemática?

Escuto essa pergunta frequentemente e não só feita pelos meus alunos. Os relatos mais antigos, sobre a matemática, surgem na mesopotâmia no quarto milênio antes do nosso tempo. Isso é bastante antigo! O fato da circunferência ter 360 graus ou a unidade de tempo ser medida em grupos de 60 são heranças dos babilônios que utilizavam a base 60 diferentemente de nós que, atualmente, usamos a base 10. Abaixo, em anexo, segue um texto fruto de uma das provas da cadeira de História da Matemática, do mestrado, que eu e meu parceiro João Paulo desenvolvemos. Desejamos que a leitura seja rica e amplie seu conhecimento e admiração pela matemática. Boa leitura!

PROVA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICABaixar

Resolução da prova de Matemática do SSA 2 2022

Prova aplicada em 05/12/2021.

Uma avaliação que trouxe uma questão bem parecida com uma questão do ano anterior de grau relativamente fácil. Mas tivemos outros problemas que exigiram mais raciocínio dos feras. Uma atenção na questão 17 na qual o estudante precisa descobrir o algarismo da unidade de um potência elevada. Resolvi de maneira simples, mas também a resolvi por congruência como deve ser.

Resolução da prova de matemática do SSA 1

Prova aplicada em 05/12/2021.

Uma prova tranquila e sem complicações. Abordou questões teóricas e manteve um nível mediano quanto a dificuldade.

Clássico dos Clássicos!!!

            O título pode parecer tema de jogo de futebol, mas não pretendo contaminar meu blog com qualquer outra coisa a não ser a matemática.  A finalidade é a atenção de todos! Se essas linhas chegaram até você, então o objetivo foi alcançado.

            Na verdade quando falo em clássico me refiro às questões da época da minha avó. Questões que dificilmente caem em concursos e vestibulares.  Não é comum encontrarmos situações como essas que vamos abordar aqui.  Hoje, a matemática é explorada de forma aplicativa, contextualizada, enfim….  Mas temos que enfatizar que são problemas matemáticos de raciocínio e, com isso, as possibilidades de serem contempladas em provas são razoáveis. Não creio que toda a avaliação que se preze deva ter problemas de alta complexidade, mas a questão diferenciadora tem que existir.  Falo daquela questão que vai diferenciar os alunos que estudaram dos demais.  Observe a questão que coloco aqui.

Tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 81 anos.  Quais são as nossas idades?

 Vamos abordar uma solução bem explicativa.

Vamos chamar nossas idades hoje de x anos e y anos.  Para resolver esse problema não podemos esquecer de uma peça chave: a diferença de nossas idades (x – y) anos. 

Pense bem, quando eu tinha a sua idade de hoje ou seja y anos, você tinha a idade de hoje (y) menos a diferença de nossas idades (x – y) anos.   Você tinha y – (x – y) = 2y – x.  Vamos montar uma tabela:

ontem	hoje	amanhã
y	x
y – (x – y) = 2y – x	y

 Percebeu que o tempo que passa para mim também passa para você? Muito bem!

Quando tu tiveres minha idade de hoje, ou seja x anos, eu terei a idade de (x) mais a diferença de nossas idades (x – y) anos.  Eu terei x + (x – y) = 2x – y.  Veja na tabela:

ontem	hoje	amanhã
y	x	x + (x – y) = 2x – y
y – (x – y) = 2y – x	y	x

 Percebeu que para você chegar a minha idade tem que se passar a diferença de nossas idades (x – y) anos ?  Se você chegar a minha idade é porque se passaram (x – y) anos, logo esses anos se passam para mim também.

A tabela fica assim:

ontem	hoje	amanhã
y	x	2x – y
2y – x	y	x

 Muito bem, montemos nossas equações:

Na frase “Tenho o dobro da idade que tu tinhas”, logo nossa equação:

x = 2(2y – x)

x = 4y – 2x

x + 2x = 4y

3x = 4y

Na frase “quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 81 anos”, logo nossa equação:

 (2x – y) + x = 81

2x + x – y = 81

3x – y = 81

Como 3x = 4y, substituindo:

 3x – y = 81

4y – y = 81

3y = 81

y = 81/3

y = 27

Substituindo em 3x = 4y:

 3x = 4y

3x = 4 . 27

3x = 108

x = 108/3

x = 36

Eu tenho 36 anos e você 27 anos.  

Simples!  Não esqueça que a diferença de idade se mantém em qualquer época.  E não esqueça que é praticando que se chega ao objetivo.  Então, deixo aqui uma questão para vocês treinarem. Tentem e postem nos comentários suas respostas.

Um forte abraço e

Bons Estudos!

(Para Praticar!) Tenho o quíntuplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 72 anos. Quais são as nossas idades?

a) 24 anos e 12 anos

b) 28 anos e 16 anos

c) 30 anos e 18 anos

d) 20 anos e 8 anos

e) 26 anos e 14 anos

ADEDANHA OU “DE COMO OS DEUSES MATEMÁTICOS TROUXERAM A PAZ AO MUNDO”

Diz a lenda que, há muitos milênios, o mundo vivia em guerra constante, pois as pessoas não sabiam como resolver as suas discordâncias, a não ser pela força bruta. Um dia, os deuses (que são exímios matemáticos), para resolver esta situação, enviaram um mensageiro à Terra, com a missão de ensinar os homens a resolverem as suas disputas. O anjo se dirigiu então aos homens, dizendo:

– Quando dois entre vós precisarem chegar a um acordo, que se faça como vos digo: que um escolha par e o outro escolha ímpar, então que ambos mostrem ao mesmo tempo a mão exibindo uma certa quantidade de dedos. Serão então somadas estas quantidades. Se a soma for um número par declara-se vencedor o jogador que escolheu par e, caso contrário, declara-se vencedor aquele que escolheu ímpar.

Os homens ficaram maravilhados com a sabedoria dos deuses e, deste dia em diante, houve um grande período de paz, pois todas as questões eram resolvidas com o jogo que eles haviam aprendido dos deuses.

Um dia, porém, esta paz foi abalada. Três reis disputavam um pedaço de terra, que ficava exatamente na divisa entre os três países. Eles estavam prontos a utilizar o jogo divino do par-ou-ímpar, mas o rei que sabia mais matemática entre os três se levantou e disse:

– Caros colegas, nós todos sabemos que um número só pode ser par ou ímpar, não existindo uma terceira opção. Como somos três, algum de nós não vai ter opção alguma.

Este era realmente um problema muito sério. Para resolvê-lo, foi chamado o melhor matemático da Terra na época, chamado Zerinhoum. Ele pensou durante várias semanas em como resolver o problema dos reis, e finalmente chegou a uma solução:

– Majestades, encontrei a solução para o vosso problema. Ao mesmo tempo, vós estendereis vossas mãos, mantendo-as ou com a palma para cima ou com a palma para baixo. Aquele dentre vós que tiver a mão em posição diferente dos demais ganha a disputa.

– E se todos nós tivermos as palmas das mãos viradas para o mesmo lado? -indagaram os reis.

– Neste caso, majestades, vós jogareis novamente, até que algum entre vós vença.

Como a disputa era muito urgente, os reis aceitaram a sugestão do eminente matemático. Houve mais um período de paz, desta vez muito mais curto. Em pouco tempo, as pessoas perceberam que o jogo de Zerinhoum podia se alongar indefinidamente, e que era possível se fazer alianças para prejudicar adversários políticos.  Então as pessoas rezaram aos deuses, pedindo um novo jogo, que trouxesse de novo a paz à Terra. Os deuses então enviaram novamente um mensageiro. Quando ele chegou, os homens lhe cercaram dizendo:

– Mensageiro dos deuses, atendeste as nossas preces. Vivíamos em guerra, e os deuses nos enviaram o sagrado jogo do par-ou-ímpar, que nos trouxe a paz. Mas este jogo só podia ser jogado por dois jogadores, e as trevas se

abateram de novo sobre nós. Então um grande homem nos ensinou um novo jogo, que chamamos Zerinhoum em sua homenagem. Mas este jogo tinha problemas, e a guerra voltou a nos assolar. Por favor, ó grande sábio, que vem em nome dos deuses, ensina-nos um novo jogo, que possa nos trazer de volta nossa paz.

E o anjo assim respondeu:

– Eu vos ensinarei um novo jogo. Zerinhoum era um grande matemático, mas não conhecia os segredos dos deuses. Eu vos revelarei estes segredos.

Para isto, o melhor é começar pelo antigo jogo do par-ou-ímpar. Como se decide se um número é par ou é ímpar? Basta dividi-lo por 2. Se o resto for igual a 0, o número será par, se for igual a 1, o número será ímpar. Estas são as únicas duas opções, porque o resto sempre é menor do que o dividendo (2). Reparai que se dividirmos o número por 3, passam a existir 3 opções para o resto, pois ele pode ser 0, 1 ou 2. Na divisão por 4, existem 4 restos possíveis ( 0, 1, 2 e 3).  Em geral, quando dividimos um número por n , existem n restos possíveis ( 0, 1, 2, …, n – 2 e n – 1 ).

E o que isto tem a ver com o jogo? Tudo, eu vos digo. Se n pessoas estiverem em uma disputa, vós fareis como eu vos digo: As pessoas escolherão, cada uma, um número entre 0 e n – 1 diferente. Depois, ao mesmo tempo, elas mostrarão as mãos, exibindo uma quantidade qualquer de dedos. As quantidades serão somadas, e o número resultante será dividido por n. A pessoa que escolheu o resto desta divisão será a vencedora.

Esta é a forma que os deuses jogam. Mas vós da Terra sois muito desorganizados para poder escolher tantos números de forma tranquila. Portanto, eu vos ensinarei uma forma alternativa de jogar este jogo. Vós vos arrumareis em um círculo. Uma pessoa será designada a contar. Então vós gritareis a palavra mágica “Adedanha” e todos mostrarão as mãos. Os resultados serão somados, e aquele que havia sido designado fará o seguinte procedimento: Em primeiro lugar falará “Um”, e apontará para o céu, para que nunca vos esqueçais de que foram os deuses que vos ensinaram este jogo. Então apontará para si mesmo e falará “Dois”. Depois apontará para o jogador à sua esquerda e falará “Três”, e depois seguirá apontando para o jogador à esquerda deste e assim por diante, sempre acrescentando um ao número que havia falado anteriormente, até chegar à soma que havia sido calculada. O jogador que estiver sendo apontado neste momento será o vencedor. Se a soma for 1, o jogador que estiver à direita do que estiver contando será declarado vencedor. Se for 0, será o que estiver à direita deste.

Os homens entenderam as determinações do mensageiro, mas ainda não entendiam porque o segundo jogo era equivalente ao primeiro. O anjo então lhes explicou:

– A pessoa que está contando vai apontar para si mesma quando estiver falando “2”. Depois vai dar uma volta completa no círculo e vai apontar para si mesma novamente quando estiver no “2 + n”, e novamente no “2 + 2n”. Ou seja, ela vai estar apontando para si mesma se e somente se estiver falando um número cujo resto na divisão por n seja 2. Da mesma forma, vai estar apontando para o jogador à sua esquerda se e somente se estiver falando um número que deixa resto 3 ao ser dividido por n. E assim por diante, de forma que cada jogador terá associado a si um número entre 0 e n – 1 tal que ele é o vencedor se e somente se o resultado da soma deixa aquele resto quando dividido por n.

Os homens estavam maravilhados com a explicação do mensageiro, mas um sábio ancião levantou uma questão:

– Ó, mensageiro divino, sem dúvida és sábio e sagaz. No entanto, uma dúvida me corrói o espírito. Tendo cada jogador 10 dedos, esta soma pode atingir números muito elevados, fazendo com que o responsável pela contagem passe um tempo enorme falando e apontando até que se descubra o vencedor.

– Tens toda a razão, sábio homem. Mas em verdade vos digo que é tolice que um jogador exiba uma quantidade de dedos maior ou igual à quantidade de jogadores. Com efeito, suponde que um jogador coloque um número maior ou igual a n. Os primeiros n dedos só vão ter o efeito de fazer com que a contagem dê uma volta completa no círculo, sem alterar em nada quem será o vencedor. Portanto, ele pode subtrair n da sua quantidade sem que isto altere o resultado. Se o número persistir maior ou igual a n, basta voltar a subtrair, até que o número fique entre 0 e n – 1.

– Isto de fato diminui sobremaneira o esforço requerido- replicou o ancião. Mas ainda assim o resultado pode chegar a n(n – 1), que ainda é bastante grande.

– És de fato perspicaz, meu nobre homem. Mas não penseis que a sabedoria dos deuses possui limite. O mesmo processo que foi aplicado a cada número individualmente pode ser aplicado à soma. Por exemplo, considerai um jogo com 4 jogadores. Suponde que um dos jogadores exibe 3 dedos e outro exibe 2 dedos. Por que considerar a sua soma como sendo 5, se o efeito de somar 4 é apenas fazer com que o responsável pela contagem dê uma volta a mais? Em vez disto, é muito mais sensato considerar a sua soma como sendo 5 – 4 = 1. Mais geralmente, considere um jogo com n jogadores. Em primeiro lugar diminui-se n dos valores jogados por cada um, de forma que todos eles estejam entre 0 e n – 1 (se todos os jogadores dessem ouvidos às palavras dos deuses, não jogariam além destes limites). Depois procede-se a soma, da seguinte forma. Soma-se o primeiro valor com o segundo. Caso esta soma seja um valor maior ou igual a n, subtrai-se n do resultado ( Sede espertos e sabereis que fazendo isto sempre obtereis um número entre 0 e n – 1 ). Depois, a este resultado, soma-se o terceiro valor, tomando-se o cuidado de se subtrair n caso a soma exceda n – 1. Prossegue-se desta forma até que todos os valores tenham sido somados. Se seguistes o meu raciocínio até este ponto, não deveria ser-vos surpresa o fato que o resultado de uma tal operação está sempre entre 0 e n – 1, e portanto o jogador responsável pela contagem nunca precisará dar mais de uma volta.

E então todos os habitantes se ajoelharam aos pés do anjo, reconhecendo a sua suprema sabedoria, e o mundo conheceu enfim a paz. Até hoje os homens jogam os jogos de par-ou-ímpar e adedanha da forma como foram ensinados pelos deuses, embora, infelizmente, a maioria tenha se esquecido da lição final e continue se extenuando em uma interminável contagem que dá voltas e mais voltas.

E foi assim que a lenda me foi contada pela minha avó, que ouviu de sua avó, que ouviu de sua própria avó, e assim por diante, até o princípio dos tempos.

Você deve estar achando meio esquisita a maneira de somar que foi ensinada pelos deuses. No entanto, eles a usaram em várias outras coisas que nos são muito familiares. Se você não acredita, responda rápido a estas perguntas:

a)     Se uma coisa começa em uma segunda-feira e dura 7 dias, em que dia ela termina? E se durar 14 dias? E se durar 701 dias?

b)    Se uma coisa começa às 8 horas da manhã e dura 24 horas, a que horas ela acaba? E se durar 48 horas? E se durar 4804 horas?

c)     Se o ponteiro dos minutos de um relógio está apontando 23 minutos, para onde ele estará apontando daqui a 60 minutos? e daqui a 120 minutos? e daqui a 66681 minutos?

Garanto que, se você respondeu à terceira pergunta dos 3 ítens, não contou de um em um (ou então já estamos no terceiro milênio ” ). Você percebeu que os dias da semana se repetem de 7 em 7 dias, que as horas do dia se repetem de 24 em 24 horas e que o ponteiro do relógio volta a apontar para o mesmo ponto de 60 em 60 minutos. Garanto também que você, sem se dar conta, já pensou várias vezes coisas como “5 horas depois das 21 horas são 2 horas da manhã”, ou seja, fez a conta 21 + 5 = 2 ! E, por incrível que pareça, esta conta está certa!!! Está certa, porque você está pensando a menos de múltiplos de 24 (ou, como preferem os matemáticos, módulo 24) , ou seja:

21 + 5 = 2 ( + um múltiplo de 24 ), ou, como preferem os matemáticos, 21 + 5 = 2 (mod 24) .

Desta forma, a terceira pergunta do item c) pode ser reescrita como “Quanto é 23 + 66681 (mod 60)” . Se você foi esperto(a) o suficiente para responder àquela pergunta, você já deve ter percebido que 66681 = 21 (mod 60), e que 23 + 66681 = 23 + 21 (mod 60), ou seja, 23 + 66681 = 44 (mod 60), logo o ponteiro estará apontando para o minuto 44. Só para ver se você entendeu até agora, preencha estas lacunas:

2 + 2 = 1 (mod __ )

2 +__ = 0 (mod 17)

26 = 3 (mod __ )

Não se esqueça que a expressão “mod n” é só uma forma abreviada de “+ um múltiplo de n”. Lembrando-se disto, veja quantas coisas você sabia, mas não sabia que sabia:

3 x 3 = 1 (mod 4)

1 = – 1 (mod 2)

2 x 2 x 2 x 2 = 1 (mod 5)

3 x 3 x 3 x 3 = 1 (mod 5)

(esta talvez você não saiba, mas n x n x n x n = 1 (mod 5), sempre que n não é múltiplo de 5. Você pode ver isto e muito mais no artigo do professor Carlos Gustavo Moreira, na EUREKA No. 2. Pergunta: se n é múltiplo de 5, quanto é n x n x n x n (mod 5)? )

Agora que você já sabe o segredo dos deuses matemáticos, já pode jogar adedanha da forma original, como os deuses a conceberam, e manter a paz no mundo sem fazer esforço.

Texto extraído da revista EUREKA No 5

Um forte abraço e bons estudos!

Correção da prova do SSA 1 e SSA2/2020

Olá, Fera. Seguem as resoluções das provas do SSA 1 e SSA2. Está fracionado porque fiquei com limitação de tempo imposta pelo editor de vídeo. E deixe o seu comentário!

SSA 1 1/8

SSA1 2/8

SSA 1 3/8

SSA 1 4/8

SSA 1 5/8

SSA 1 6/8

SSA 1 7/8

SSA 1 8/8

SSA 2 Foto1

SSA 2 Foto2

Revisão Sistema Seriado de Avaliação (UPE)

Olá, Fera!

Pelo Google Meet, hoje, tivemos um bate papo juntamente com o professor de português Eduardo Alves. Tratamos de temas importantes de matemática e português que mais figuram nas provas do SSA 1, 2 e 3. Contamos com a participação dos nossos alunos e foi top. Abaixo você pode baixar as revisões. Sugiro tentar resolve-las.

Bom estudo!

REVISAO SSA1Baixar

REVISAO SSA2Baixar

REVISAO SSA3Baixar

Foco Total

Quem está de olho no Enem e no SSA 3 não pode deixar de lado as funções trigonométricas, tema certeiro nessas duas provas. Não se estresse, apenas assista e relaxe! Segue uma sequência de aulas. Bom estudo!

Foco Total

Se você vai fazer ENEM ou, os vestibulares seriados, segue uma aula sobre razão de segmentos e segmentos proporcionais. Bom estudo!

REVISÃO ENEM

Olá, galerinha!

Diante de tantos pedidos, preparei uma revisão para o ENEM e espero que ajude nessa reta final.

REVISÃO ENEM 2020Baixar